home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter6.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  6.4 KB  |  249 lines
  1. à 6.3èForced Oscillations - No Damplïg; Resonance
  2.  
  3. äèèSolve ê problem
  4.  
  5. âèèFïd ê resonance frequency for ê differential equation
  6.         y»» +è25y =è4sï[10t]èèè
  7.     The ståard form for undamped, forced oscillation is
  8.         y»» +èÜìyè=èF╠sï[ßt]
  9.     ThusèÜì = 25, so ê resonance frequency would be 5 rad súî
  10.  
  11. éSèè In addition ë ê maï external force (e.g. sprïg) ï a 
  12.     simple harmonic oscillaër system, êre may be an EXTERNAL
  13.     OSCILLATOR affectïg ê motion ç ê system.èFor ê 
  14.     UNDAMPED system ê DRIVEN simple harmonic oscillaër equation
  15.     will be
  16.             y»»è+èÜìyè=èF(t)
  17.  
  18.     The situation where ê external oscillaër has a fixed 
  19.     angular frequency ß occurs whenè F(t) = F╠cos[ßt]èorè
  20.     equivalentlyè F(t) = F╠sï[ßt]è Choosïg ê latter gives
  21.  
  22.             y»»è+èÜìyè=èF╠sï[ßt]
  23.  
  24.     èèThis lïear, constant coefficient, INHOMOGENEOUS, second
  25.     order differential equation is solved ï two parts.èThe 
  26.     HOMOGENEOUS equation was solved ï Section 6.1 with ê
  27.     general solution
  28.  
  29.             yè=èC¬cos[Üt] + C½sï[Üt]
  30.  
  31.     The particular solution ë ê INHOMOGENEOUS equation is
  32.     found usïg ê method ç UNDETERMINED COEFFICIENTS (Section
  33.     4.3).èThe particular solution is assumed ë be
  34.  
  35.         yè =èAcos[ßt] + Bsï[ßt]
  36.  
  37.     where A å B are undetermïed.èDifferentiatïg twice gives
  38.  
  39.         y»è=è- ßAsï[ßt] + ßBcos[ßt]
  40.  
  41.         y»» =è-ßìAcos[ßt] - ßìBsï[ßt]
  42.  
  43.     Substitutïg ïë ê driven simple harmonic oscillaër
  44.     differential equation yields
  45.  
  46. èèè-Aßìcos[ßt] - Bßìsï[ßt] + AÜìcos[Üt] + BÜìsï[Üt] = F╠sï[ßt]
  47.  
  48.     Or
  49.     è [A(Üì - ßì)]cos[ßt] + [B(Üì - ßì)sï[ßt]è=èF╠sï[ßt]
  50.  
  51.     Equatïg coefficients ç ê functions yields
  52.  
  53.         A(Üì - ßì)è=è0è i.e.èA = 0
  54.  
  55.         èèèèèèèèèèèèèèèèF╠
  56.         B(Üì - ßì)è=èF╠èorèBè=è─────────
  57.         èèèèèèèèèèèèèèèÜì - ßì
  58.  
  59.     Thus ê general solution is
  60.         èèèèèèèèèèèèèèèèèF╠
  61.         yè=èC¬cos[Üt] + C½sï[Üt] +è──────── sï[ßt]
  62.         èèèèèèèèèèèèèèèèÜì - ßì
  63.  
  64.     In situation where ê NATURAL FREQUENCY ç ê system, Ü ,
  65.     is not close ë ê EXTERNAL FREQUENCY ç ê external 
  66.     oscillaër, ß, ê third term ç ê solution will have only a
  67.     small effect due ë ê presence ç êèÜì - ßì ï ê
  68.     denomïaër.èHowever, as ê external frequency ß approaches
  69.     ê natural frequency Ü, ê denomïaër gets closer ë zero
  70.     å ê coefficient becomes large so that ê third term ï
  71.     ê solution becomes ê DOMINANT term.èIn ê limit as 
  72.     ß goes ë Ü, ê solution becomes unbounded.èThis phenomena
  73.     is known as RESONANCE.
  74.  
  75.     èèèResonance manifests itself ï a number ç physical
  76.     phenomena as ê tunïg ç a radio signal å ê breakïg
  77.     ç a crystal goblet by a sustaïed high note ç an opera sïger.
  78.     The most famous resonance episode was ê collapse ç ê 
  79.     bridge at Tacoma Narrows, Washïgën state ï 1939.èA wïd
  80.     blowïg at a constant speed ç about 38 ë 40 miles per hour
  81.     gave energy ë a twistïg ç ê road about ê center lïe.
  82.     After about a half hour ç this motion, ê straï caused 
  83.     ê bridge ë collapse ïë Puget Sound.èThe cause was NOT
  84.     ê speed ç ê wïd as ê bridge had withsëod much higher
  85.     wïd speeds, but ê fact that ê wïds were blowïg stead-
  86.     ily at just ê right speed ë match ê resonance frequency
  87.     ç ê ërsional simple harmonic motion ç ê roadway.
  88.  
  89.  1è Fïd ê resonance frequency ç ê driven simple 
  90.     harmonic oscillaër described byèy»» + 9y = 4sï[2t]
  91.  
  92.     A)è2 rad súîè B)è3 rad súîèC)è4 rad súîèD)è9 rad súî
  93.  
  94. üèèThe ståard driven simple harmonic oscillaër is given by
  95.  
  96.             y»» +èÜìyè=èF╠sï[ßt]
  97.  
  98.     Matchïg with ê given equation 
  99.  
  100.             y»» + 9y = 4sï[2t]
  101.  
  102.     Thusè        Üìè=è9è soèÜè=è3 rad súî
  103.  
  104. Ç B
  105.  
  106.  2è Fïd ê general solution ç ê driven simple 
  107.     harmonic oscillaër described byèy»» + 9y = 4sï[2t]
  108.  
  109.     A)èC¬cos[3t] + C½sï[3t] + 4/5 sï[2t]è 
  110.     B)èC¬cos[3t] + C½sï[3t] - 4/5 sï[2t]
  111.     C)èC¬cos[9t] + C½sï[9t] + 4/5 sï[2t]
  112.     D)èC¬cos[9t] + C½sï[9t] - 4/5 sï[2t]
  113.  
  114. üèèThe ståard driven simple harmonic oscillaër is given by
  115.  
  116.             y»» +èÜìyè=èF╠sï[ßt]
  117.  
  118.     The general solution is given by
  119.  
  120.     èèèèèèèèèèèèèèèèèF╠
  121.     yè=èC¬cos[Üt] + C½sï[Üt] +è──────── sï[ßt]
  122.     èèèèèèèèèèèèèèèèÜì - ßì
  123.  
  124.     The differential equation
  125.  
  126.             y»» + 9y = 4sï[2t]
  127.  
  128.     hasè Üè=è3 rad súî,èß = 2 rad súî,è
  129.  
  130.     F╠ = 4è soèF╠/(Üì - ßì) = 4/(3ì - 2ì) = 4/5
  131.  
  132.     Thus ê general equation is
  133.  
  134.     yè=èC¬cos[3t] + C½sï[3t] + 4/5 sï[2t]
  135.  
  136. Ç A
  137.  
  138.  3è Fïd ê solution ç ê driven simple harmonic oscilla-
  139.     ër described byèy»» + 9y = 4sï[2t]èy(0) = -4, y»(0) = 7
  140.  
  141.     A)è4cos[3t] + 9/5 sï[3t] + 4/5 sï[2t]è 
  142.     B)è4cos[3t] - 9/5 sï[3t] + 4/5 sï[2t]è 
  143.     C)è-4cos[3t] + 9/5 sï[3t] + 4/5 sï[2t]è 
  144.     D)è-4cos[3t] - 9/5 sï[3t] + 4/5 sï[2t]è 
  145.  
  146. üèèAs found ï Problem 2, ê general equation is
  147.  
  148.         yè=èC¬cos[3t] + C½sï[3t] + 4/5 sï[2t]
  149.  
  150.     Substitutïg t = 0 gives
  151.  
  152.         -4è=èC¬
  153.  
  154.     Differentiatïg
  155.  
  156.         y»è=è-3C¬sï[3t] + 3C½cos[3t] + 8/5 cos[2t]
  157.  
  158.     Substitutïgèt = 0
  159.  
  160.         7è=è3C½è+ 8/5èi.e.èC½ = 9/5
  161.  
  162.     Thus ê solution is
  163.  
  164.         yè=è-4cos[3t] + 9/5 sï[3t] + 4/5 sï[2t]
  165.  
  166. Ç C
  167.  
  168.  4è Fïd ê resonance frequency ç ê driven simple 
  169.     harmonic oscillaër described byèy»» + 4y = 5sï[2.1t]
  170.  
  171.     A)è2 rad súîè B)è2.1 rad súîèC)è4 rad súîèD)è5 rad súî
  172.  
  173. üèèThe ståard driven simple harmonic oscillaër is given by
  174.  
  175.             y»» +èÜìyè=èF╠cos[ßt]
  176.  
  177.     Matchïg with ê given equation 
  178.  
  179.             y»» + 4y = 5cos[2.1t]
  180.  
  181.     Thusè        Üìè=è4è soèÜè=è2 rad súî
  182.  
  183. Ç A
  184.  
  185.  5è Fïd ê general solution ç ê driven simple 
  186.     harmonic oscillaër described byèy»» + 4y = 5sï[2.1t]
  187.  
  188.     A)èC¬cos[2t] + C½sï[2t] + 500/41 sï[2.1t]è 
  189.     B)èC¬cos[2t] + C½sï[2t] - 500/41 sï[2.1t]
  190.     C)èC¬cos[4t] + C½sï[4t] + 500/41 sï[2.1t]
  191.     D)èC¬cos[4t] + C½sï[4t] - 500/41 sï[2.1t]
  192.  
  193. üèèThe ståard driven simple harmonic oscillaër is given by
  194.  
  195.             y»» +èÜìyè=èF╠sï[ßt]
  196.  
  197.     The general solution is given by
  198.  
  199.     èèèèèèèèèèèèèèèèèF╠
  200.     yè=èC¬cos[Üt] + C½sï[Üt] +è──────── sï[ßt]
  201.     èèèèèèèèèèèèèèèèÜì - ßì
  202.  
  203.     The differential equation
  204.  
  205.             y»» + 4y = 5sï[2.1t]
  206.  
  207.     hasè Üè=è2 rad súî,èß = 2.1 rad súî,è
  208.  
  209.     F╠ = 4èsoèF╠/(Üì-ßì) = 5/(2ì-2.1ì) = -5/[41/100] = -500/41
  210.  
  211.     Thus ê general equation is
  212.  
  213.     yè=èC¬cos[2t] + C½sï[2t] - 500/41 sï[2t]
  214.  
  215. Ç B
  216.  
  217.  6è Fïd ê solution ç ê driven simple harmonic oscilla-
  218.     ër described byèy»» + 4y = 5sï[2.1t]èy(0) = 0, y»(0) = -4
  219.  
  220.     A)è500/41 cos[2t] + 2 sï[2t] - 500/41 sï[2.1t]è 
  221.     B)è500/41 cos[2t] - 2 sï[2t] - 500/41 sï[2.1t]è 
  222.     C)è-500/41 cos[2t] + 2 sï[2t] + 500/41 sï[2.1t]èèè
  223.     D)è-500/41 cos[2t] - 2 sï[2t] + 500/41 sï[2.1t]èèè
  224.  
  225. üèèAs found ï Problem 5, ê general equation is
  226.  
  227.         yè=èC¬cos[2t] + C½sï[2t] - 500/41 cos[2.1t]
  228.  
  229.     Substitutïg t = 0 gives
  230.  
  231.         0è=èC¬ - 500/41è i.e.èC¬ = 500/41
  232.  
  233.     Differentiatïg
  234.  
  235.         y»è=è-2C¬sï[2t] + 2C½cos[2t] - 336/41 cos[2.1t]
  236.  
  237.     Substitutïgèt = 0
  238.  
  239.         -4è=è2C½è i.e.èC½ = -2
  240.  
  241.     Thus ê solution is
  242.  
  243.         yè=è500/41 cos[2t] - 2 sï[2t] - 500/41 cos[2.1t]
  244.  
  245. Ç B
  246.  
  247.  
  248.  
  249.